تعریفوتمجید معادله دیفرانسیل معادله دیفرانسیل از اصطلاحات اقتصاد ریاضی به حساب میآید، که برای ارائه عقیدههای علمی و تحقیقی استعمال می شود. هر ارتباطای که در میان تابع و متغیر غیروابسته و مشتقات تابع نسبت به متغیر جداگانه باشد را یک معادله دیفرانسیل می گویند. نکتهای که می بایست به آن دقت داشته باشیم این میباشد که به طبع معادله بایستی مشمول مشتقات باشد. در ذیل نمونههایی از معادلات دیفرانسیل در جهت یادگیری معادلات دیفرانسیل بیان شده معلم خصوصی ریاضی در تهران میباشد:
نمونه برای معادله دیفرانسیل در فراگیری معادلات دیفرانسیلبیشترین سکو مشتقی که در معادله دیفرانسیل وجود دارااست را جايگاه معادله دیفرانسیل مینامند. برای مثالٌ در نمونههای بالا، در نمونه اولیه معادله از سکو نخستین میباشد در نمونه دوم و سوم هم معادله از درجه دوم میباشند. درصورتی که بتوانیم یک معادله دیفرانسیل را به طور چندجملهای نسبت به مشتقات موجودش بنویسیم، قدرت بالاترین جایگاه مشتق را سکو معادله دیفرانسیل می گویند. از جمله در نمونههای بالا، نمونه نخستین سکو نخستین، نمونه دوم مرتبه نخستین و نمونه سوم مرتبه سوم میباشد.
خصوصیت های معادلات دیفرانسیل
رتبه: درجهی مشتقی که بالاترین جایگاه در معادله دارااست را گویند.
نوع: معادله دیفرانسیل قادر است جزئی و یا این که عدی باشد،معادله مشمول متغیر غیروابسته x ، تابع (y = f(x و مشتقات f را معادله دیفرانسیل معمولی و معادلهای متشکل از یک تابع مجهول با بیشتراز یک متغیر جدا همدم با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی مینامیم.
جايگاه: بالاترین اقتدار مشتقی که بالاترین جایگاه را در معادله دارااست، سکو معادله دیفرانسیل گویند.
ساختار: هر معادله دیفرانسیل ساختاری مختلف داراست که پیرو فراگیری معاد لات دیفرانسیل به آنان اشاره خواهیم کرد.
در معادلات دیفرانسیل در شرایطیکه معادله دارنده یک مجهول باشد یک معادله برای یافت کردن مجهول لازم میباشد و در حالتی که معادله دارنده دو مجهول باشد دو معادله در یک دستگاه معادلات دیفرانسیل درج شده و مجهولات را به دست می آوریم.
تشکیل معادله دیفرانسیل
پیش از استارت یادگرفتن معادلات دیفرانسیل این نکته را متذکر می شوم که معادلات دیفرانسیل برای یک گروه منحنی نوشته میشوند. برای اینکه بتوانیم یک معادله دیفرانسیل برای یک گروه منحنی تشکیل بدهیم با معمولیترین گزینه استارت میکنیم یعنی گروه منحنی را درنظر می گیریم که یک پارامتر داراست به عنوان مثالً: y=F(x,c).
تشکیل معادلات دیفرانسیل یک پارامتری
همانطوریکه در نمونه فوق مشاهده میکنید کافی میباشد پارامتر c را در دستگاه حذف کرد و برای این فعالیت مشتق y را گرفته و پارامتر c را از دربین می بریم.
درحال حاضر در صورتیکه گروه منحنی متبوع ما بیشتر از یک پارامتر داشته باشد، مثل: y=F(x,c1,c2,…,cn) آن گاه برای تشکیل معادله دیفرانسیل آن می بایست n پارامتر را فی مابین n+1 معادله به طور ذیل در دستگاه حذف کرد.
تشکیل معادله دیفرانسیل با تعدادی پارامتر
همانگونه که در نمونه بخش 2 فوق مشاهده می کنید برای یک معادله که 2 پارامتر دارااست یک دستگاه 3 معادلهای تولید کرده و بعد با مشتقگیری پیدر پی سعی بر حذف پارامترها می کنیم و پاسخ مناسب را به دست می آوریم. در شرایط کلی هر جوابی که در معادله دیفرانسیل صحت نماید تحت عنوان پاسخ معادله دیفرانسیل نامیده میگردد.
پاسخ همگانی معادله دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل ممکن میباشد بیش تر از یک پاسخ یا این که حتی بیغایت پاسخ داشته باشد که کلیه آنها زیر یک فرمول که دربرگیرنده یک اثبات میباشد ذکر می شود، به پاسخهایی این چنین پاسخ همگانی می گویند.
پاسخ همگانی و محرمانه در معادلات دیفرانسیل
پاسخ محرمانه معادله دیفرانسیل
در صورتیکه در نمونه فوق اعتنا فرمایید متوجه خواهید شد که پس از اینکه پاسخ همگانی به دست آمد با مقداردهی به پارامترهای x و y می توانیم یک پاسخ محرمانه هم به دست آوریم. به عبارت کلی پاسخ محرمانه هنگامی به دست میاید که پاسخ همگانی را زیر وضعیت نخستین قرار داده و پارامتر اثبات را انتخاب کنیم.
ساختارهای معادلات دیفرانسیل
ساختارهای معادلات دیفرانسیل عبارتانداز:
معادلات دیفرانسیل رتبه اولیه
معادلات همگن
معادلات دیفرانسیل بدون نقص
معادلات دیفرانسیل خطی رتبه اولیه
معادلات دیفرانسیل برنولی
معادلات دیفرانسیل خطی درجه دوم
معادلات دیفرانسیل خطی رتبه دوم همگن با ضرایب اثبات
معادلات دیفرانسیل همگن از جايگاه دلخواه n با ضرایب اثبات
معادلات دیفرانسیل خطی غیرهمگن درجه دوم
1. معادلات دیفرانسیل رتبه نخستین
اولین نوع معادلات دیفرانسیل در آموز معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل رتبه نخستین میباشد. صورت کلی این معادلات به طور پایین میباشد:
صورت کلی فرمان معادلات دیفرانسیل سکو اولیه
یادگرفتن معادلات دیفرانسیل با راه و روش حل مساله و آزمایش کنکور ارشد — کلیک نمائید
معادلات غیر وابسته شدنی
درصورتیکه معادلهای به طور معادله 1 که در صورت تحت آمده میباشد را داشته باشیم که در آن f1 تابعی فقط از x و f2 تابعی فقط از y باشد دراینصورت ارتباط ذیل برقرار میباشد و هیبت کلی آن برایر معادله 2 صورت ذیل میباشد که با انتگرالگیری از آن پاسخ همگانی به دست می آید.
معادلات جداشدنی در معادلات دیفرانسیل
برای فهم و شعور عالی موضوع مثالی به طور پایین می زنیم:
نمونه برای معادلات جداشدنی

به معلمان یاری دهد